假设我们有一组线性无关的向量 \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\)，我们的目标是找到一组正交向量 \(\{u_1, u_2, ..., u_n\}\)。具体步骤如下：

1. 初始化：令 \(u_1 = v_1\)。

2. 递归构造：对于每一个 \(i\) 从 2 到 \(n\)，按照以下公式计算 \(u_i\)：

\[

u_i = v_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\langle v_i, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j

\]

其中，\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 表示内积运算。

3. 标准化（可选）：如果需要标准正交基，则对每个 \(u_i\) 进行单位化，得到 \(e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|}\)。

这个过程的核心思想是逐个去除新向量与已有正交向量之间的投影分量，从而确保每一步新增的向量都与之前的向量正交。

施密特正交化的一个重要特点是它能够有效地处理高维空间中的向量集，并且在计算机实现时相对简单高效。然而，在实际应用中需要注意数值稳定性问题，特别是在处理病态矩阵时可能需要引入额外的技术来保证结果的准确性。

总之，施密特正交化提供了一种强大而灵活的方式来解决许多涉及多维数据的问题，其简洁优雅的形式使其成为数学工具箱中的一个重要成员。