在概率论与数理统计中，数学期望是一个重要的概念，它描述了随机变量取值的平均趋势。对于连续型随机变量，其数学期望可以通过积分来表示和计算。

设 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)，那么 \( X \) 的数学期望 \( E(X) \) 可以通过以下积分公式计算：

\[

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx

\]

这个公式的直观意义是将随机变量的所有可能取值 \( x \) 乘以其对应的发生概率（即密度函数 \( f(x) \)），然后对所有可能的 \( x \) 进行积分，从而得到加权平均值。

为了更好地理解这一公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。假设 \( X \) 是一个服从标准正态分布的随机变量，其概率密度函数为：

\[

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}

\]

根据上述公式，我们可以计算 \( X \) 的数学期望：

\[

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx

\]

由于标准正态分布的概率密度函数关于 \( x = 0 \) 对称，并且 \( x \) 的奇次幂在对称区间上的积分为零，因此可以得出结论：

\[

E(X) = 0

\]

这表明，标准正态分布的数学期望为零，这是该分布的一个重要性质。

此外，在实际应用中，数学期望的积分计算还可以用于处理更复杂的随机变量模型。例如，当随机变量 \( X \) 的分布不是单一的，而是由多个子分布组成时，可以通过分段积分的方法来求解数学期望。

总之，数学期望的积分计算公式为我们提供了一种强大的工具，能够帮助我们理解和分析各种随机现象。掌握这一公式及其应用方法，不仅有助于解决理论问题，还能在工程、金融等领域发挥重要作用。