在数学中，裂项相消是一种重要的解题技巧，广泛应用于数列求和、函数分解等领域。通过巧妙地将复杂的表达式拆解为多个简单部分，并利用相邻项之间的抵消关系，可以大大简化计算过程。以下是裂项相消法的十个基本公式，掌握这些公式有助于快速解决相关问题。
一、基础公式
1. $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
这是最常见的裂项形式之一，适用于处理分母为连续整数乘积的情况。
2. $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$
当分母为非连续整数时，可以通过引入常数 $k$ 实现裂项。
3. $\frac{1}{n^2 - m^2} = \frac{1}{2m}\left(\frac{1}{n-m} - \frac{1}{n+m}\right)$
利用平方差公式进行分解，特别适合处理分母为平方差的情形。
4. $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$
针对根号下的表达式，通过有理化分子实现裂项。
二、高级公式
5. $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$
将三阶分母裂开为两部分，便于逐项消去。
6. $\frac{1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^2}$
对于高次幂分母，可采用多项式展开的方式进行裂项。
7. $\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{6}\left[\frac{1}{n(n+1)} - \frac{4}{(n+1)(n+2)} + \frac{6}{(n+2)(n+3)} - \frac{4}{(n+3)(n+4)}\right]$
多项式形式的裂项需要精确分配系数。
8. $\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}\frac{1}{n+i}$
利用组合数性质实现多阶分母的裂项。
9. $\frac{1}{n^p(n+1)^q} = \frac{1}{p-q}\left[\frac{1}{n^p(n+1)^{q-1}} - \frac{1}{n^{p-1}(n+1)^q}\right]$
高次幂分母的递推裂项公式。
10. $\frac{1}{n!\cdot (n+1)!} = \frac{1}{n!}\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right)$
阶乘形式的裂项，适用于特殊数列求和。
应用实例
示例 1
求和：$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)}$
根据公式 (1)，原式可写为：
$$
\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)
$$
通过裂项后，中间项全部抵消，最终结果为：
$$
1 - \frac{1}{N+1}
$$
示例 2
求和：$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+2)}$
利用公式 (2)：
$$
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)
$$
同样经过裂项与抵消后，得：
$$
\frac{3}{4} - \frac{1}{2(N+1)} - \frac{1}{2(N+2)}
$$
熟练掌握以上裂项相消的基本公式，不仅能够提高解题效率，还能帮助理解更深层次的数学原理。希望这些公式能成为你解决问题的强大工具！
