【凸度与久期计算公式】在固定收益证券分析中，久期和凸度是衡量债券价格对利率变动敏感性的两个重要指标。久期用于衡量债券价格对利率变化的线性反应，而凸度则用来衡量这种关系的非线性部分，即价格-收益率曲线的弯曲程度。以下是对久期和凸度的简要总结，并附有相关计算公式的表格说明。
一、久期（Duration）
久期是衡量债券价格对利率变化敏感程度的一种指标，通常表示为债券现金流的加权平均时间。它可以帮助投资者评估债券投资组合对利率波动的承受能力。
1. 修正久期（Modified Duration）
修正久期是衡量债券价格对利率变化的百分比变动的指标，适用于不同到期期限的债券。
公式：
$$
\text{修正久期} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot C_t}{(1 + y)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + y)^t}}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流（包括票息和本金）
- $ y $：债券的收益率（到期收益率）
- $ n $：债券的剩余期限
2. 麦考利久期（Macaulay Duration）
麦考利久期是衡量债券现金流量的加权平均时间，不考虑收益率的变化。
公式：
$$
\text{麦考利久期} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdot C_t}{(1 + y)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + y)^t}}
$$
二、凸度（Convexity）
凸度是衡量债券价格对利率变化的二阶敏感性指标，反映了价格-收益率曲线的曲率。凸度越大，债券价格对利率变动的非线性反应越强。
1. 修正凸度（Modified Convexity）
修正凸度是衡量债券价格对利率变化的二次反应，常用于更精确地估算价格变动。
公式：
$$
\text{修正凸度} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t(t + 1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t + 2}}}{P}
$$
其中：
- $ P $：债券当前价格
2. 麦考利凸度（Macaulay Convexity）
麦考利凸度是基于麦考利久期的扩展，用于衡量价格-收益率曲线的曲率。
公式：
$$
\text{麦考利凸度} = \frac{\sum_{t=1}^{n} \frac{t(t + 1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t + 2}}}{P}
$$
三、总结对比表
| 指标 | 定义 | 公式 | 用途 |
| 久期（Dur） | 债券现金流的加权平均时间 | $ \frac{\sum \frac{t \cdot C_t}{(1 + y)^t}}{\sum \frac{C_t}{(1 + y)^t}} $ | 衡量价格对利率变化的线性敏感性 |
| 修正久期 | 对利率变化的百分比反应 | $ \frac{\sum \frac{t \cdot C_t}{(1 + y)^t}}{\sum \frac{C_t}{(1 + y)^t}} $ | 更精确地评估价格变动 |
| 凸度（Con） | 价格-收益率曲线的曲率 | $ \frac{\sum \frac{t(t+1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t+2}}}{P} $ | 评估价格对利率变化的非线性影响 |
| 修正凸度 | 对利率变化的二次反应 | $ \frac{\sum \frac{t(t+1) \cdot C_t}{(1 + y)^{t+2}}}{P} $ | 用于更精确的价格预测 |
四、应用建议
在实际投资中，久期和凸度常被用于：
- 债券组合的风险管理；
- 利率风险对冲策略的设计；
- 评估债券价格在利率波动下的表现。
通过合理使用久期和凸度，投资者可以更好地理解债券价格的变动趋势，从而做出更为科学的投资决策。
如需进一步了解如何在Excel或Python中实现这些计算，可参考相关金融建模教程。
