在数学分析中，我们经常会遇到一些复杂的函数表达式，而这些表达式的求导过程往往能够帮助我们更好地理解其性质和变化规律。今天，我们就来探讨一个有趣的数学问题——对函数 $ f(x) = \frac{x - \sin x}{x} $ 进行求导。

首先，我们需要明确这个函数的形式。从表面上看，它由两个部分组成：分子部分为 $ x - \sin x $，分母为 $ x $。这样的结构让我们想到可以利用商法则来进行求导。商法则的基本形式如下：

$$

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2},

$$

其中 $ u $ 和 $ v $ 分别是分子和分母的部分。

第一步：分解函数

设 $ u(x) = x - \sin x $，$ v(x) = x $。那么：

- $ u'(x) = 1 - \cos x $（因为 $ (\sin x)' = \cos x $）；

- $ v'(x) = 1 $。

接下来，我们将代入商法则公式进行计算。

第二步：应用商法则

根据商法则，有：

$$

f'(x) = \frac{(1 - \cos x) \cdot x - (x - \sin x) \cdot 1}{x^2}.

$$

展开分子部分：

$$

(1 - \cos x) \cdot x - (x - \sin x) = x - x \cos x - x + \sin x.

$$

进一步简化后得到：

$$

f'(x) = \frac{-x \cos x + \sin x}{x^2}.

$$

第三步：化简结果

最终，我们可以将导数表示为：

$$

f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{x^2}.

$$

总结

通过对函数 $ f(x) = \frac{x - \sin x}{x} $ 的求导过程，我们得到了其导数的解析表达式。这种类型的题目不仅考察了基本的求导技巧，还涉及到了三角函数的相关知识。希望本文能够帮助大家加深对这类问题的理解，并在实际应用中灵活运用。

如果您对这一过程有任何疑问或需要更深入的探讨，请随时留言交流！

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