在数学分析中，非齐次线性微分方程是一种重要的研究对象。这类方程通常可以表示为：

\[y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)\]

其中，\(a_i(x)\)（\(i=0,1,\ldots,n-1\)）和\(f(x)\)是定义在区间\([a,b]\)上的连续函数，\(f(x)\neq 0\)时称为非齐次项。

解决这类方程的关键在于找到其通解。根据线性微分方程理论，非齐次线性微分方程的通解由两部分组成：齐次解与特解。

首先，我们考虑对应的齐次方程：

\[y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0\]

通过寻找这个齐次方程的基础解系，我们可以得到一系列线性无关的解\(\{y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)\}\)。这些解构成了齐次方程的所有可能解。

接下来，我们需要确定一个特定的特解\(y_p(x)\)，使得它满足非齐次方程。特解的具体形式依赖于非齐次项\(f(x)\)的形式。常见的方法包括常数变易法、待定系数法以及拉普拉斯变换等。

一旦找到了齐次解和特解，就可以写出非齐次线性微分方程的通解公式：

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + \cdots + c_ny_n(x) + y_p(x)\]

这里\(c_1, c_2, \ldots, c_n\)是任意常数，它们的值取决于初始条件或边界条件。

值得注意的是，在实际应用中，确定合适的求解方法往往需要结合具体问题的特点。例如，当\(f(x)\)是一个多项式、指数函数或者三角函数时，使用待定系数法可能会更加方便；而当\(f(x)\)较为复杂时，则可能需要采用数值方法或其他高级技术手段来近似求解。

总之，非齐次线性微分方程的通解问题是微积分领域中的基础且重要课题之一。通过对这一问题的研究，不仅能够加深对微分方程本质的理解，还能为物理学、工程学等多个学科提供强有力的理论支持。