【常见的10个泰勒公式】泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，用于将一个可导函数在某一点附近用多项式近似表示。它不仅在理论研究中具有重要意义，在工程、物理和计算机科学等领域也有广泛应用。以下是常见的10个泰勒公式，适用于不同类型的函数展开。
一、
泰勒公式的核心思想是将一个光滑函数在某一点处展开为无穷级数的形式，从而更方便地进行计算与分析。常见的泰勒展开包括指数函数、三角函数、对数函数、反三角函数等。这些公式通常以麦克劳林级数（即在0点展开）的形式出现，便于记忆和应用。
下面列出的10个泰勒公式涵盖了常见的基本函数，它们在微积分、数值分析以及各种科学计算中都具有重要价值。
二、常见泰勒公式表格
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（在x=0处） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 7 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ | ||
| 8 | $ \log(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| 9 | $ (1+x)^k $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n $（其中$\binom{k}{n}$为广义组合数） | $ | x | < 1 $ |
| 10 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、小结
以上10个泰勒公式是数学学习和应用中非常基础且常用的展开形式。掌握这些公式有助于快速理解函数的行为，提高计算效率，并在实际问题中提供近似解法。需要注意的是，每个公式的收敛范围不同，使用时应结合具体情境判断是否适用。
