【方阵的行列式计算公式】在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它不仅用于判断矩阵是否可逆，还能用于求解线性方程组、计算面积和体积等。对于一个n×n的方阵（即行数与列数相等的矩阵），其行列式的计算有特定的公式和方法。以下是对常见方阵行列式计算公式的总结。
一、行列式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，则其行列式记为 $
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中，$ \sigma $ 是 $ \{1, 2, ..., n\} $ 的所有排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示排列的奇偶性（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
由于该公式在实际计算中较为复杂，通常采用更简便的方法进行计算。
二、常用方阵的行列式计算公式
以下是几种常见方阵的行列式计算方式及公式：
| 矩阵类型 | 行列式计算公式 | 说明 |
| 1×1矩阵 | $ \det(A) = a_{11} $ | 只有一个元素，行列式等于该元素本身 |
| 2×2矩阵 | $ \det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $ | 对角线乘积之差 |
| 3×3矩阵 | $ \det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) $ | 按第一行展开 |
| 上三角/下三角矩阵 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 主对角线元素的乘积 |
| 对角矩阵 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 与上三角矩阵相同 |
| 伴随矩阵 | $ \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1} $ | 当 $ A $ 可逆时成立 |
三、行列式的性质
为了更高效地计算行列式，掌握其基本性质也很重要：
1. 行列式与转置：$ \det(A^T) = \det(A) $
2. 交换两行/列：行列式变号
3. 某一行/列全为0：行列式为0
4. 两行/列相同：行列式为0
5. 行列式与乘法：$ \det(AB) = \det(A)\det(B) $
四、行列式的应用
- 判断矩阵是否可逆：若 $ \det(A) \neq 0 $，则 $ A $ 可逆；
- 解线性方程组（克莱姆法则）；
- 计算几何中的面积、体积；
- 在特征值问题中起关键作用。
总结
行列式是线性代数中不可或缺的概念，尤其在处理方阵时具有重要意义。不同类型的矩阵有不同的计算方法，掌握这些公式和性质有助于更高效地进行矩阵运算和分析。在实际应用中，可以结合行列式的性质简化计算过程，避免复杂的直接展开。
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