超几何分布的期望和方差公式可以这样记：设总体共有 N 个个体，其中有 M 个具有目标属性，抽取 n 个个体，记 X 为抽到的目标属性数量，若 X 服从超几何分布，则期望是 E(X)=n·M/N，方差是 Var(X)=n·(M/N)·(1-M/N)·(N-n)/(N-1)。这两个公式用来描述一次性抽样或逐次取出且不替换时，抽中目标数量的平均水平与分散程度。只要把 N、M、n 三个数值确定下来，再按顺序代入，就能得到清晰的计算结果。

核心公式速看

参数怎么读

• N：总体数量，也就是所有个体总数。
• M：总体中具有目标属性的数量，例如合格品数量、特殊颜色球数量。
• n：抽取数量，也就是样本容量。
• X：抽到的目标属性数量，是随机变量。
• M/N：目标属性在总体中的比例，常用 p 表示。
• (N-n)/(N-1)：超几何分布的有限总体修正系数，体现一次抽走后，总体中可用个体发生变化的影响。

怎么代入

• 先确认总体数量 N。
• 再确认目标属性数量 M。
• 然后确认抽取数量 n。
• 计算目标比例 p=M/N。
• 期望按 E(X)=n·p 计算。
• 方差按 Var(X)=n·p·(1-p)·(N-n)/(N-1) 计算。
• 如果需要标准差，再对方差开平方。

小例子

假设一个盒子里有 100 个球，其中 20 个是红球，现一次性抽取 10 个球，记 X 为抽到红球数量。

• N=100
• M=20
• n=10
• p=M/N=20/100=0.2

期望：

• E(X)=n·p=10·0.2=2

方差：

• Var(X)=n·p·(1-p)·(N-n)/(N-1)
• Var(X)=10·0.2·0.8·90/99
• Var(X)=1.4545...

标准差：

• σ=√Var(X)≈1.206

所以按超几何分布的期望和方差公式计算，平均抽到 2 个红球，数量波动程度对应方差约 1.4545，标准差约 1.206。

公式理解要点

• 期望公式和按比例抽到的目标数量有关，抽取数量越大，平均目标数量越大。
• M/N 越大，目标比例越高，平均抽到的目标数量越大。
• N-n 越大，说明抽样后总体剩余数量影响越明显，方差修正更完整。
• 当 N 很大，抽样数量相对很小时，超几何分布的期望和方差公式会接近常见逐次独立抽样模型的近似结果。
• 统计口径要保持一致，N、M、n 都按同一类对象定义。

【常见问题】

问题1：超几何分布的期望和方差公式中的 N、M、n 分别怎么找？

回答1：在超几何分布的期望和方差公式中，N 是总体全部数量，M 是总体中具有目标属性的数量，n 是实际抽取的样本数量。找这三个量时，先把“总体是什么”“目标属性是什么”“每次取多少”列清楚，再对应到 N、M、n。

问题2：超几何分布的期望和方差公式怎么计算标准差？

回答2：标准差可以直接由超几何分布的期望和方差公式得到。先算 Var(X)=n·(M/N)·(1-M/N)·(N-n)/(N-1)，再对这个结果开平方。标准差用来把方差放回和 X 相同的数量单位，便于观察目标数量的波动范围。

问题3：超几何分布的期望和方差公式适合哪些抽样场景？

回答3：超几何分布的期望和方差公式适合从有限总体中抽取样本，并且抽走一个个体后不再放回原总体的场景。常见例子包括从一批产品中抽取若干件统计合格品数量，或从一副牌中抽取若干张统计特定花色数量。

问题4：使用超几何分布的期望和方差公式时，p 代表什么？

回答4：在超几何分布的期望和方差公式里，p 代表目标属性在总体中的比例，即 p=M/N。把 p 写进公式后，期望可记为 E(X)=n·p，方差可记为 Var(X)=n·p·(1-p)·(N-n)/(N-1)，这样读起来更简洁。

免责声明：本内容用于超几何分布的期望和方差公式知识整理，请以现行教材、权威统计资料和实际统计口径为准。