在数学学习和应用过程中，不等式是一个非常重要的工具，广泛应用于代数、几何、分析以及实际问题的建模中。掌握常见的不等式公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数学规律的理解。以下是一些在数学中较为常见且常用的不等式公式及其简要说明。
一、基本不等式
1. 绝对值不等式
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
这是三角不等式的最基本形式，也被称为绝对值不等式。它反映了向量加法的长度不超过各分量长度之和的性质。
2. 差的绝对值不等式
$$
||a| - |b|| \leq |a - b|
$$
这个不等式在处理绝对值函数的连续性和极限时经常用到。
二、均值不等式（平均不等式）
均值不等式是数学中最为经典的不等式之一，适用于正实数集合。
1. 算术平均与几何平均不等式（AM ≥ GM）
对于所有正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$
当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时取等号。
2. 调和平均与几何平均不等式（HM ≤ GM）
对于正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：
$$
\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
$$
同样，当且仅当所有数相等时取等号。
3. 平方平均与算术平均不等式（QM ≥ AM）
$$
\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}
$$
三、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
这是线性代数和分析学中的一个重要不等式，常用于向量空间和积分不等式中。
对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有：
$$
(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)
$$
当且仅当存在常数 $ k $，使得 $ a_i = k b_i $（$ i = 1, 2, \ldots, n $）时取等号。
四、排序不等式（Rearrangement Inequality）
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则对于任意排列 $ c_1, c_2, \ldots, c_n $，有：
$$
a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 c_1 + a_2 c_2 + \cdots + a_n c_n \geq a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \cdots + a_n b_1
$$
这个不等式在优化问题中具有重要应用。
五、琴生不等式（Jensen's Inequality）
若函数 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上为凸函数（或凹函数），则对任意 $ x_1, x_2, \ldots, x_n \in I $ 和正权系数 $ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n $ 满足 $ \sum \lambda_i = 1 $，有：
$$
f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_n x_n) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) + \cdots + \lambda_n f(x_n)
$$
（凸函数时成立）
对于凹函数，则不等号方向相反。
六、其他常用不等式
1. 伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）
对于 $ r \geq 1 $ 或 $ r \leq 0 $，且 $ x > -1 $，有：
$$
(1 + x)^r \geq 1 + rx
$$
当 $ 0 < r < 1 $ 时，不等式方向相反。
2. 三角不等式（General Form）
对于任意复数 $ z_1, z_2 $，有：
$$
|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|
$$
3. 幂平均不等式（Power Mean Inequality）
设 $ p > q $，则对于正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有：
$$
\left( \frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n} \right)^{1/p} \geq \left( \frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n} \right)^{1/q}
$$
结语
不等式是数学中不可或缺的一部分，它们不仅在理论研究中起着重要作用，也在工程、物理、经济学等领域有着广泛应用。掌握这些常见不等式公式，有助于提升逻辑思维能力和问题解决能力。希望本文能为你的数学学习提供一些帮助。
