【常用导数公式】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常用的导数公式对于解决数学问题、物理建模以及工程计算等都具有重要意义。本文将对一些常见的导数公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
以下是一些基本初等函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $（x > 0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
当函数由多个函数复合而成时，需要使用链式法则来求导。例如：
- 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
常见复合函数的导数如下：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin(u) $ | $ f'(x) = \cos(u) \cdot u' $ |
| $ f(x) = \cos(u) $ | $ f'(x) = -\sin(u) \cdot u' $ |
| $ f(x) = e^{u} $ | $ f'(x) = e^{u} \cdot u' $ |
| $ f(x) = \ln(u) $ | $ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u' $ |
| $ f(x) = u^n $ | $ f'(x) = n u^{n-1} \cdot u' $ |
三、三角函数与反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ f(x) = \text{arccot} \, x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
四、高阶导数简介
有些函数的高阶导数也具有一定的规律性，例如：
- $ f(x) = e^x $ 的任意阶导数都是 $ e^x $
- $ f(x) = \sin x $ 的四阶导数是 $ \sin x $
- $ f(x) = \cos x $ 的四阶导数是 $ \cos x $
五、小结
导数是微积分中的核心内容之一，掌握常用导数公式有助于提高解题效率。通过理解导数的定义和规则，可以更灵活地处理各种数学问题。建议在学习过程中结合实例练习，加深对导数概念的理解和应用能力。
如需进一步了解导数的应用或相关定理，可继续查阅相关资料或进行深入学习。
