【反三角函数有哪些公式】反三角函数是三角函数的反函数，用于求解已知三角函数值所对应的角。常见的反三角函数包括反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）以及它们的其他形式如反余切（arccot）、反正割（arcsec）、反余割（arccsc）。这些函数在数学、物理和工程中有着广泛的应用。
以下是对常见反三角函数及其相关公式的总结：
一、基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | y = arcsin(x) | x ∈ [-1, 1] | y ∈ [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | y = arccos(x) | x ∈ [-1, 1] | y ∈ [0, π] |
| 反正切 | y = arctan(x) | x ∈ ℝ | y ∈ (-π/2, π/2) |
| 反余切 | y = arccot(x) | x ∈ ℝ | y ∈ (0, π) |
| 反正割 | y = arcsec(x) | x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞) | y ∈ [0, π/2) ∪ (π/2, π] |
| 反余割 | y = arccsc(x) | x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞) | y ∈ [-π/2, 0) ∪ (0, π/2] |
二、常用公式
1. 互为补角关系
- arcsin(x) + arccos(x) = π/2
- arctan(x) + arccot(x) = π/2
- arcsec(x) + arccsc(x) = π/2
2. 奇偶性与对称性
- arcsin(-x) = -arcsin(x)
- arccos(-x) = π - arccos(x)
- arctan(-x) = -arctan(x)
- arccot(-x) = π - arccot(x)
- arcsec(-x) = π - arcsec(x)
- arccsc(-x) = -arccsc(x)
3. 导数公式
| 函数名称 | 导数公式 |
| arcsin(x) | 1 / √(1 - x²) |
| arccos(x) | -1 / √(1 - x²) |
| arctan(x) | 1 / (1 + x²) |
| arccot(x) | -1 / (1 + x²) |
| arcsec(x) | 1 / (x√(x² - 1)) |
| arccsc(x) | -1 / (x√(x² - 1)) |
4. 与三角函数的关系
- sin(arcsin(x)) = x
- cos(arccos(x)) = x
- tan(arctan(x)) = x
- cot(arccot(x)) = x
- sec(arcsec(x)) = x
- csc(arccsc(x)) = x
三、特殊角度值
| x | arcsin(x) | arccos(x) | arctan(x) |
| 0 | 0 | π/2 | 0 |
| 1/2 | π/6 | π/3 | π/6 |
| √2/2 | π/4 | π/4 | π/4 |
| √3/2 | π/3 | π/6 | π/3 |
| 1 | π/2 | 0 | π/4 |
四、应用示例
- 在直角三角形中，若已知两条边的长度，可以通过反三角函数计算夹角。
- 在微积分中，反三角函数的导数常用于积分计算。
- 在信号处理中，反三角函数用于计算相位角。
总结
反三角函数是解决已知三角函数值求角度的重要工具，其公式多样且具有对称性和导数性质。掌握这些公式有助于更深入地理解三角函数的逆运算，并在实际问题中灵活运用。
