【增函数加增函数还是增函数吗】在数学中，函数的单调性是一个重要的性质，而“增函数”指的是在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也相应增大的函数。那么，当两个增函数相加时，结果是否仍然是一个增函数呢？这是一个值得探讨的问题。
一、结论总结
答案是：增函数加增函数仍然是增函数。
不过，这个结论需要在一定条件下成立。如果两个函数在同一个定义域上都是增函数，那么它们的和也是一个增函数。这是因为两个增函数的导数都是非负的，其和的导数也是非负的，因此整体上仍然是递增的。
二、详细分析
我们可以通过以下几点来进一步理解：
1. 增函数的定义
函数 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上是增函数，当且仅当对于任意的 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $。若严格大于，则称为严格增函数。
2. 两个增函数相加的性质
若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是增函数，那么它们的和 $ h(x) = f(x) + g(x) $ 也是增函数。因为：
- 对于任意的 $ x_1 < x_2 $，有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，$ g(x_1) \leq g(x_2) $
- 因此，$ h(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \leq f(x_2) + g(x_2) = h(x_2) $
3. 特殊情况考虑
- 如果两个函数中有一个是常函数（即导数为0），那么它们的和仍然保持增函数的性质。
- 如果两个函数在某些点处不连续或不可导，但整体上仍满足增函数的定义，那么它们的和依然可以是增函数。
三、对比表格
| 情况 | 增函数1 | 增函数2 | 和函数 | 是否为增函数 |
| 一般情况 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 一个为常函数 | 是 | 否（常函数） | 是 | 是 |
| 不连续函数 | 是 | 是 | 可能不是 | 取决于定义域 |
| 导数为零点 | 是 | 是 | 是 | 是 |
四、小结
总的来说，增函数加增函数仍然是增函数，只要它们的定义域一致，并且在该区间内都保持递增的趋势。但在实际应用中，还需注意函数的连续性、可导性以及定义域的限制条件。通过合理分析与判断，我们可以更准确地掌握函数的单调性变化规律。
