【微分基本公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握常见的微分基本公式，有助于快速求解导数问题。以下是对常见微分公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本微分公式总结
1. 常数函数的导数
常数的导数为零，即：
$$
\frac{d}{dx}(C) = 0
$$
2. 幂函数的导数
对于任意实数 $ n $，有：
$$
\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $
- $ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $（其中 $ a > 0 $，$ a \neq 1 $）
4. 对数函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $
- $ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $
- $ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x $
- $ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x $
- $ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $
二、常用微分公式表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ C $ | $ 0 $ |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、小结
以上内容涵盖了微积分中最基础、最常用的微分公式。掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，还能为后续学习积分、微分方程等高级内容打下坚实基础。建议结合实例反复练习，加深理解与应用能力。
