【等差数列基本性质】等差数列是数列中的一种重要类型，广泛应用于数学、物理和工程等领域。掌握其基本性质有助于更好地理解和应用等差数列的相关知识。以下是对等差数列基本性质的总结。
一、等差数列的基本定义
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用 d 表示。
例如：
3, 5, 7, 9, 11,… 是一个等差数列，其中首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $。
二、等差数列的基本性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容说明 |
| 1 | 通项公式 | 第n项 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 2 | 任意两项之间的差 | 若 $ m < n $，则 $ a_n - a_m = (n - m)d $ |
| 3 | 中间项的平均性 | 若三个数成等差数列，则中间的数是两边的等差中项，即 $ b = \frac{a + c}{2} $ |
| 4 | 等差数列的和 | 前n项和 $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 5 | 对称性 | 在等差数列中，若 $ k + l = m + n $，则 $ a_k + a_l = a_m + a_n $ |
| 6 | 公差的计算 | 若已知 $ a_1 $ 和 $ a_n $，则 $ d = \frac{a_n - a_1}{n - 1} $ |
| 7 | 常数列是等差数列 | 当公差 $ d = 0 $ 时，所有项都相等，即为常数列 |
三、典型例题解析（简要）
例1：已知等差数列的首项为5，公差为3，求第10项。
解：
$ a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = 5 + 9 \times 3 = 32 $
例2：已知等差数列前三项为2, 5, 8，求第5项。
解：
公差 $ d = 5 - 2 = 3 $，
$ a_5 = 2 + (5 - 1) \times 3 = 2 + 12 = 14 $
四、总结
等差数列虽然结构简单，但其性质在实际问题中应用广泛。理解并掌握这些基本性质，不仅能提高解题效率，还能帮助我们更深入地分析数列的变化规律。通过表格形式对性质进行归纳，可以更清晰地记忆和运用这些知识。
