在数学领域中，向量是一个非常重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学中也扮演着关键角色。向量的坐标表示是一种将向量转化为具体数值的方法，这种方法使得向量的运算变得更加直观和易于处理。

首先，我们来探讨一下向量的坐标表示。假设在一个二维平面上有一个向量 \(\vec{v}\)，如果我们在该平面上建立了一个直角坐标系，那么这个向量就可以用一对有序实数 \((x, y)\) 来表示，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别代表向量在 \(x\)-轴和 \(y\)-轴上的投影长度。同样地，在三维空间中，一个向量可以由三个实数组成的三元组 \((x, y, z)\) 来表示，分别对应于三个坐标轴上的分量。

接下来是关于向量运算的部分。向量的基本运算是加法、减法以及数乘。当两个向量 \(\vec{a}=(a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b}=(b_1, b_2)\) 进行加法或减法操作时，它们的结果仍然是一个向量，其分量为相应坐标上的和或差，即：

\[

\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1, a_2+b_2), \quad \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1, a_2-b_2).

\]

而对于标量（即普通实数）\(k\) 与向量 \(\vec{a}\) 的数乘，则是通过将每个分量都乘以该标量得到新的向量：

\[

k\cdot\vec{a}=(ka_1, ka_2).

\]

此外，还有点积（内积）这一重要的运算形式。给定两个向量 \(\vec{a}=(a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b}=(b_1, b_2)\)，它们之间的点积定义为：

\[

\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.

\]

点积的一个重要性质是可以用来判断两个向量是否垂直：如果 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则说明这两个向量互相垂直。

总之，理解并掌握向量的坐标表示及其基本运算对于学习更高级别的数学知识至关重要。通过这些基础工具，我们可以解决许多实际问题，并为进一步的研究打下坚实的基础。