如何推导泊松分布的期望与方差
泊松分布是一种广泛应用于统计学和概率论中的离散概率分布，常用于描述单位时间内随机事件发生的次数。例如，在某一时间段内到达某个服务窗口的人数或某地区接收到的电话数量等场景中，泊松分布都能很好地进行建模。
泊松分布的概率质量函数（PMF）定义为：
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \]
其中 \( k = 0, 1, 2, \dots \)，且 \(\lambda > 0\) 表示平均发生率。
接下来，我们将探讨如何从泊松分布的定义出发，推导其期望值和方差。
一、泊松分布的期望值
期望值 \( E[X] \) 的公式为：
\[ E[X] = \sum_{k=0}^\infty k \cdot P(X = k). \]
将泊松分布的 PMF 代入上述公式，我们得到：
\[ E[X] = \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. \]
注意到当 \( k = 0 \) 时，第一项为零，因此我们可以从 \( k = 1 \) 开始求和：
\[ E[X] = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. \]
通过调整指数部分，可得：
\[ E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}. \]
令 \( j = k - 1 \)，则 \( k = j + 1 \)，并且当 \( k = 1 \) 时，\( j = 0 \)。因此，求和变为：
\[ E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!}. \]
注意到最后的求和正是指数函数 \( e^\lambda \) 的展开式，即：
\[ \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{j!} = e^\lambda. \]
因此，我们得出泊松分布的期望值为：
\[ E[X] = \lambda. \]
二、泊松分布的方差
泊松分布的方差 \( Var(X) \) 定义为：
\[ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2. \]
首先计算 \( E[X^2] \)。利用 \( X^2 = X(X-1) + X \)，我们有：
\[ E[X^2] = E[X(X-1)] + E[X]. \]
对于 \( E[X(X-1)] \)，同样代入泊松分布的 PMF，我们得到：
\[ E[X(X-1)] = \sum_{k=0}^\infty k(k-1) \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. \]
类似于之前的方法，从 \( k = 2 \) 开始求和，并经过类似的替换和化简，最终可以证明：
\[ E[X(X-1)] = \lambda^2. \]
结合 \( E[X] = \lambda \)，我们得到：
\[ E[X^2] = \lambda^2 + \lambda. \]
因此，泊松分布的方差为：
\[ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (\lambda^2 + \lambda) - \lambda^2 = \lambda. \]
总结
泊松分布的期望值和方差均为 \(\lambda\)。这一特性使得泊松分布在实际应用中具有重要的意义，因为它不仅简单易用，还能够准确地反映随机事件的发生规律。
希望这篇文章能满足您的需求！如果有任何进一步的问题，请随时告知。
