在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散型随机变量的概率分布模型。它描述了在独立重复试验中成功次数的概率规律。如果一个随机变量 \( X \) 服从参数为 \( n \) 和 \( p \) 的二项分布，记作 \( X \sim B(n, p) \)，那么它的期望值和方差分别为：

\[

E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p)

\]

下面我们通过一道具体的例题来加深对二项分布方差的理解。

例题：

某工厂生产一批零件，已知每个零件合格的概率为 \( p = 0.9 \)，现从这批零件中随机抽取 \( n = 50 \) 个进行质量检测。设 \( X \) 表示这 50 个零件中合格品的数量，请计算 \( X \) 的方差。

解题步骤：

第一步：明确分布类型

根据题目描述，每次检测一个零件的结果只有两种可能（合格或不合格），并且每次检测是相互独立的。因此，合格品数量 \( X \) 符合二项分布 \( B(n, p) \)，其中：

- \( n = 50 \)（样本容量）

- \( p = 0.9 \)（单次成功的概率）

第二步：计算方差公式

对于二项分布，方差公式为：

\[

D(X) = np(1-p)

\]

将已知参数代入公式：

\[

D(X) = 50 \cdot 0.9 \cdot (1 - 0.9)

\]

第三步：化简计算

\[

D(X) = 50 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 50 \cdot 0.09 = 4.5

\]

最终答案：

\( X \) 的方差为 \( \boxed{4.5} \)。

总结：

通过本例题可以看出，二项分布的方差计算非常直观且简单，只需记住公式 \( D(X) = np(1-p) \) 即可快速求解。这种分布广泛应用于质量控制、医学实验、市场调查等领域，掌握其特性有助于解决实际问题。