【抛物线所有公式】抛物线是二次函数的图像，广泛应用于数学、物理和工程等领域。了解抛物线的基本公式对于解决相关问题至关重要。本文将总结抛物线的主要公式，并以表格形式清晰展示。
一、抛物线的基本定义
抛物线是平面上到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的所有点的集合。其标准形式通常为：
- 开口方向向上或向下：$ y = ax^2 + bx + c $
- 开口方向向左或向右：$ x = ay^2 + by + c $
其中 $ a \neq 0 $，决定了抛物线的形状和开口方向。
二、抛物线的标准方程
| 类型 | 标准方程 | 焦点 | 准线 | 顶点 |
| 开口向上 | $ (x - h)^2 = 4p(y - k) $ | $ (h, k + p) $ | $ y = k - p $ | $ (h, k) $ |
| 开口向下 | $ (x - h)^2 = -4p(y - k) $ | $ (h, k - p) $ | $ y = k + p $ | $ (h, k) $ |
| 开口向右 | $ (y - k)^2 = 4p(x - h) $ | $ (h + p, k) $ | $ x = h - p $ | $ (h, k) $ |
| 开口向左 | $ (y - k)^2 = -4p(x - h) $ | $ (h - p, k) $ | $ x = h + p $ | $ (h, k) $ |
其中，$ (h, k) $ 是顶点坐标，$ p $ 是焦距（焦点到顶点的距离）。
三、一般式与标准式的转换
1. 从一般式转标准式
一般式：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
配方法可将其转化为标准式：
$$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) $$
顶点坐标为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right) $$
2. 从标准式转一般式
例如，若已知标准式为 $ (x - h)^2 = 4p(y - k) $，则展开后为：
$$ x^2 - 2hx + h^2 = 4py - 4pk $$
整理得：
$$ x^2 - 2hx - 4py + (h^2 + 4pk) = 0 $$
四、抛物线的性质公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 焦点坐标 | $ (h, k + p) $ 或 $ (h + p, k) $ | 根据开口方向不同 |
| 准线方程 | $ y = k - p $ 或 $ x = h - p $ | 与焦点对称 |
| 顶点坐标 | $ (h, k) $ | 抛物线的最高或最低点 |
| 对称轴 | $ x = h $ 或 $ y = k $ | 垂直于开口方向 |
| 焦距 | $ p = \frac{1}{4a} $ | 若为 $ y = ax^2 + bx + c $ 的情况 |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ | 判断抛物线与x轴交点个数 |
五、应用举例
1. 求抛物线的顶点
已知 $ y = 2x^2 - 4x + 3 $，
则顶点横坐标为 $ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $，
代入得 $ y = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 $，
所以顶点为 $ (1, 1) $。
2. 求抛物线的焦点
已知 $ y = x^2 + 2x + 1 $，
化为标准式：$ y = (x + 1)^2 $，
所以顶点为 $ (-1, 0) $，
焦距 $ p = \frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \times 1} = 0.25 $，
焦点为 $ (-1, 0 + 0.25) = (-1, 0.25) $。
六、总结
抛物线作为二次函数的图像，具有丰富的几何和代数性质。掌握其标准方程、顶点、焦点、准线、对称轴等基本公式，有助于快速分析和解决问题。通过上述表格和实例，可以系统地理解抛物线的核心内容，提升解题效率和准确性。
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