【威尔斯特拉斯函数】一、
威尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function）是数学史上一个重要的反例，由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）于1872年提出。该函数在当时颠覆了人们对连续函数的直观认识，因为它是一个处处连续但处处不可导的函数。
在19世纪之前，数学家普遍认为，只要函数在某一点连续，它在该点就应该是可导的，或者至少在大部分点上是可导的。然而，魏尔斯特拉斯构造了一个函数，它在所有点都连续，却在任何一点都不可导，从而打破了这一传统观念。
这个函数的构造基于无穷级数的形式，通常表示为：
$$
W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
$$
其中 $0 < a < 1$，$b$ 是一个奇整数，且满足 $ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$。这样的参数选择使得该函数具备非光滑性，即处处不可导。
威尔斯特拉斯函数的提出对分析学的发展产生了深远影响，推动了数学家们对函数性质的深入研究，并促使了现代实分析和泛函分析的建立。
二、表格展示
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 威尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function） |
| 提出者 | 卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass） |
| 提出时间 | 1872年 |
| 函数形式 | $ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) $ |
| 参数条件 | $0 < a < 1$，$b$ 为奇整数，且 $ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$ |
| 性质 | 处处连续，但处处不可导 |
| 意义 | 破坏了“连续必可导”的传统观念，推动了实分析发展 |
| 影响 | 引发对函数性质的重新思考，成为数学史上的重要反例 |
三、结语
威尔斯特拉斯函数不仅是数学理论发展中的一个里程碑，也展示了数学中反例的力量。它提醒我们，直观并不总是可靠的，而严谨的数学构造可以揭示更深层次的真理。
