【数列求和公式】在数学中，数列求和是常见的问题之一。根据数列的类型不同，求和的方式也各不相同。以下是对常见数列求和公式的总结，并通过表格形式进行展示，便于理解和查阅。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a + (n - 1)d $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = ar^{n-1} $。

求和公式：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

若 $ r < 1 $，当 $ n \to \infty $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

三、自然数平方和公式

自然数平方和是指从 1 到 $ n $ 的所有整数的平方之和。

求和公式：

$$

S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

四、自然数立方和公式

自然数立方和是指从 1 到 $ n $ 的所有整数的立方之和。

求和公式：

$$

S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

五、调和数列

调和数列是各项为倒数的数列，如 $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots $，其前 $ n $ 项和没有简洁的闭式表达式，但可以近似表示为：

$$

H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \ln(n) + \gamma

$$

其中 $ \gamma \approx 0.5772 $ 是欧拉-马歇罗尼常数。

六、其他特殊数列

对于一些特殊的数列，如斐波那契数列、阶乘数列等，通常需要使用递推公式或特定方法进行求和，不具备通用的封闭公式。

数列求和公式总结表

以上是常见的数列求和公式及其应用方式。在实际问题中，应根据数列的性质选择合适的公式进行计算，以提高效率和准确性。