【arccosx的积分怎么算】在数学学习中，求函数的积分是常见且重要的内容。其中，反三角函数如 $ \arccos x $ 的积分方法，有时会让人感到困惑。本文将详细讲解如何计算 $ \arccos x $ 的积分，并以总结加表格的形式呈现关键步骤和结果，帮助读者更清晰地理解和掌握这一知识点。
一、积分思路
$ \arccos x $ 是一个反三角函数，它的导数为：
$$
\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
但我们要计算的是其积分：
$$
\int \arccos x \, dx
$$
这类积分通常采用分部积分法（Integration by Parts），即：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们设：
- $ u = \arccos x $
- $ dv = dx $
则有：
- $ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $
- $ v = x $
代入公式得：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \int x \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) dx
$$
化简后：
$$
= x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来对第二项进行积分，令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
最终得到：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
二、总结与表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 使用分部积分法，设 $ u = \arccos x $，$ dv = dx $ |
| 2 | 计算 $ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $，$ v = x $ |
| 3 | 应用公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 4 | 得到表达式：$ x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ |
| 5 | 对第二项使用变量替换 $ t = 1 - x^2 $，简化积分 |
| 6 | 最终结果：$ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
三、结论
计算 $ \arccos x $ 的积分需要结合分部积分法和变量替换法，通过逐步拆解和代换，最终得出其不定积分形式为：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
该方法不仅适用于 $ \arccos x $，也可以推广至其他反三角函数的积分问题中。希望本文能帮助你更好地理解这一过程，避免常见的错误和混淆。
