【分层抽样的公式怎么计】在统计学中，分层抽样是一种常用的抽样方法，它将总体划分为若干个互不重叠的子群体（即“层”），然后从每一层中按一定比例或数量抽取样本。这种方法可以提高样本的代表性，减少抽样误差，尤其适用于总体内部差异较大的情况。
为了更清晰地理解分层抽样的计算方式，以下是对相关公式的总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、分层抽样的基本概念
| 术语 | 含义 |
| 总体 | 研究对象的全体 |
| 层（Stratum） | 根据某种特征划分的子群体 |
| 样本 | 从各层中抽取的部分个体 |
| 分层抽样 | 按层抽取样本的方法 |
二、分层抽样的常用公式
1. 样本量分配公式
在分层抽样中，样本量可以从每层中按比例或等量抽取，常见的分配方式有：
- 比例分配（Proportional Allocation）
$$
n_h = n \times \frac{N_h}{N}
$$
其中：
- $ n_h $：第 $ h $ 层的样本量
- $ n $：总样本量
- $ N_h $：第 $ h $ 层的总体数量
- $ N $：总体总数
- 最优分配（Optimal Allocation）
$$
n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum_{h=1}^L N_h S_h}
$$
其中：
- $ S_h $：第 $ h $ 层的标准差
2. 均值估计公式
分层抽样的总体均值估计为：
$$
\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^L \frac{N_h}{N} \bar{y}_h
$$
其中：
- $ \bar{y}_h $：第 $ h $ 层的样本均值
3. 方差估计公式
分层抽样的总体均值的方差估计为：
$$
V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L \left( \frac{N_h}{N} \right)^2 \left( 1 - \frac{n_h}{N_h} \right) \frac{S_h^2}{n_h}
$$
4. 置信区间公式
分层抽样的置信区间为：
$$
\bar{y}_{st} \pm z \sqrt{V(\bar{y}_{st})}
$$
其中：
- $ z $：置信水平对应的临界值（如95%置信水平对应 $ z=1.96 $）
三、分层抽样的步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 明确研究目标和总体范围 |
| 2 | 将总体按特征划分为若干层 |
| 3 | 确定每层的样本量（按比例或最优分配） |
| 4 | 从每层中独立抽取样本 |
| 5 | 计算各层的统计量并进行总体估计 |
| 6 | 评估结果并构建置信区间 |
四、示例说明
假设某学校有学生1000人，按年级分为3层：高一（400人）、高二（300人）、高三（300人）。若要抽取100人的样本，采用比例分配：
- 高一：$ 100 \times \frac{400}{1000} = 40 $
- 高二：$ 100 \times \frac{300}{1000} = 30 $
- 高三：$ 100 \times \frac{300}{1000} = 30 $
五、小结
分层抽样的核心在于合理划分层，并根据不同的需求选择合适的样本分配方式。通过使用上述公式，可以有效地进行数据收集与分析，提高研究的准确性与代表性。掌握这些公式不仅有助于实际操作，还能增强对统计方法的理解。
