【向量叉乘公式】在三维几何与物理中，向量的叉乘是一种重要的运算方式，广泛应用于力学、电磁学、计算机图形学等领域。叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。本文将对向量叉乘的基本公式进行总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、向量叉乘的基本概念
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，结果为一个向量，表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、向量叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 数乘结合律 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ |
| 与自身叉乘 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ |
| 垂直性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 a 和 b 都垂直 |
三、叉乘的应用场景
| 应用领域 | 说明 |
| 力矩计算 | 计算力对某点的旋转效果 |
| 磁场方向 | 根据电流方向和磁场方向判断受力方向 |
| 法向量求解 | 在计算机图形学中用于计算表面法线 |
| 角动量 | 物理中描述物体旋转状态的重要参数 |
四、叉乘与点积的区别
| 项目 | 叉乘 | 点积 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 方向 | 垂直于两向量所在的平面 | 无方向 |
| 几何意义 | 表示面积（模长） | 表示投影长度 |
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ |
五、实例解析
假设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5,\; 3×4 - 1×6,\; 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
六、小结
向量叉乘是矢量运算中的重要工具，具有明确的数学表达和丰富的物理意义。掌握其公式和性质，有助于理解空间几何关系，并在实际问题中灵活应用。通过表格对比，可以更清晰地把握叉乘与其他运算的区别与联系。
