【什么是负定矩阵】负定矩阵是线性代数中一个重要的概念，常用于优化、数值分析和统计学等领域。它与正定矩阵相对，具有类似的性质但符号相反。理解负定矩阵有助于分析二次型的极值、判断函数的凸性以及在数学建模中的稳定性分析。
一、负定矩阵的定义
一个对称矩阵 $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ 被称为负定矩阵，如果对于所有非零向量 $ x \in \mathbb{R}^n $，都有：
$$
x^T A x < 0
$$
换句话说，当我们将矩阵 $ A $ 作用于任意非零向量时，结果总是负数。
二、负定矩阵的判定方法
要判断一个矩阵是否为负定矩阵，可以通过以下几种方式：
| 判定方法 | 说明 |
| 特征值法 | 所有特征值都小于 0 |
| 顺序主子式法 | 所有奇数阶顺序主子式小于 0，偶数阶顺序主子式大于 0 |
| 二次型法 | 对于所有非零向量 $ x $，$ x^T A x < 0 $ |
| 可逆性 | 矩阵必须可逆（即行列式不为 0） |
三、负定矩阵的性质
| 性质 | 描述 |
| 对称性 | 负定矩阵一定是对称矩阵 |
| 逆矩阵 | 若 $ A $ 是负定矩阵，则 $ A^{-1} $ 也是负定矩阵 |
| 相似变换 | 若 $ B = P^T A P $，且 $ P $ 可逆，则 $ B $ 也是负定矩阵 |
| 乘积性质 | 若 $ A $ 和 $ B $ 都是负定矩阵，则 $ AB $ 不一定负定，但 $ AB + BA $ 可能是负定的 |
四、负定矩阵的应用
负定矩阵在多个领域中都有重要应用：
- 优化问题：在无约束优化中，若目标函数的 Hessian 矩阵是负定的，则该点是一个局部极大值点。
- 稳定性分析：在动力系统中，负定矩阵可用于判断系统的稳定性。
- 金融模型：在投资组合优化中，协方差矩阵如果是负定的，可能表示资产之间存在强烈的负相关关系。
- 数值计算：负定矩阵在求解线性方程组时具有良好的数值稳定性。
五、负定矩阵与正定矩阵的关系
| 比较项 | 正定矩阵 | 负定矩阵 |
| 定义 | $ x^T A x > 0 $ | $ x^T A x < 0 $ |
| 特征值 | 全部大于 0 | 全部小于 0 |
| 二次型 | 正半定 | 负半定 |
| 应用 | 极小值点 | 极大值点 |
六、总结
负定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其核心特征是对于所有非零向量 $ x $，二次型 $ x^T A x $ 始终为负。它在数学、物理、工程和经济等多个领域中有着广泛的应用。通过特征值、顺序主子式等方法可以判断一个矩阵是否为负定矩阵。理解负定矩阵的概念和性质，有助于更深入地分析和解决实际问题。
