【等距离公式如何推导】在数学中，"等距离公式"通常指的是在几何或解析几何中，求解某一点到两个已知点的距离相等的条件。这种问题常见于坐标系中的点、线、面之间的关系分析。本文将从基本概念出发，逐步推导等距离公式的原理，并通过表格形式总结关键步骤和公式。
一、基本概念
假设我们有两个定点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，以及一个动点 $ P(x, y) $。如果点 $ P $ 到点 $ A $ 和点 $ B $ 的距离相等，则满足：
$$
PA = PB
$$
根据两点间距离公式，有：
$$
\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}
$$
两边同时平方，可以消去根号，得到：
$$
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2
$$
二、推导过程
我们将上式展开并整理：
$$
(x^2 - 2x x_1 + x_1^2) + (y^2 - 2y y_1 + y_1^2) = (x^2 - 2x x_2 + x_2^2) + (y^2 - 2y y_2 + y_2^2)
$$
两边同时减去 $ x^2 + y^2 $，得：
$$
-2x x_1 + x_1^2 - 2y y_1 + y_1^2 = -2x x_2 + x_2^2 - 2y y_2 + y_2^2
$$
移项整理：
$$
-2x x_1 + 2x x_2 - 2y y_1 + 2y y_2 = x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2
$$
提取公因式：
$$
2x(x_2 - x_1) + 2y(y_2 - y_1) = x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2
$$
进一步化简为：
$$
x(x_2 - x_1) + y(y_2 - y_1) = \frac{1}{2}(x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2)
$$
这就是点 $ P(x, y) $ 到点 $ A $ 和 $ B $ 距离相等时所满足的直线方程，即 垂直平分线 的方程。
三、总结与表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设定两个定点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $ |
| 2 | 设动点 $ P(x, y) $ 满足 $ PA = PB $ |
| 3 | 应用两点距离公式：$ \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} $ |
| 4 | 两边平方，得到：$ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 $ |
| 5 | 展开并整理后得到：$ x(x_2 - x_1) + y(y_2 - y_1) = \frac{1}{2}(x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2) $ |
| 6 | 这是点 $ P $ 所在的直线方程，即 $ AB $ 的垂直平分线 |
四、结论
等距离公式的推导本质上是基于两点之间距离相等的几何条件，通过代数运算将其转化为一次方程，从而确定点的轨迹。该公式广泛应用于几何作图、路径规划及物理中的对称性分析等领域。理解其推导过程有助于深入掌握解析几何的基本思想。
