【求高等数学所有的求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等领域。掌握各类函数的求导公式是学习微积分的基础。本文将系统总结常见的求导公式，并以表格形式清晰展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arccot } x $ | $ y' = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arcsec } x $ | $ y' = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ y = \text{arccsc } x $ | $ y' = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $ 的导数为：$ y' = 3\cos(3x) $
- $ y = e^{x^2} $ 的导数为：$ y' = 2x e^{x^2} $
四、高阶导数（部分常见函数）
| 函数表达式 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | … |
| $ y = x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ | $ n(n-1)(n-2)x^{n-3} $ | … |
| $ y = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | … |
| $ y = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | … |
五、隐函数与参数方程的导数
隐函数求导：
设 $ F(x, y) = 0 $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
参数方程求导：
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
六、导数的应用
- 极值点：令导数为零，解出临界点，再判断是否为极值。
- 单调性：导数正负决定函数的增减趋势。
- 曲线的切线与法线：利用导数求斜率。
- 曲线的凹凸性：通过二阶导数判断。
总结
高等数学中的求导公式种类繁多，涵盖基本初等函数、反三角函数、复合函数、高阶导数、隐函数及参数方程等。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对函数性质的理解。建议结合例题进行练习，以达到灵活运用的目的。
希望本文能帮助你在学习高等数学的过程中更加得心应手！
