在高等数学中，三角函数的极限问题常常是考试和练习中的重点与难点。这类题目不仅考察了学生对基本三角函数性质的理解，还涉及到了极限计算的一些技巧和方法。本文将通过几个典型的例子来探讨如何解决这类问题。

例题一：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

这是最经典的三角函数极限之一。根据洛必达法则或者泰勒展开，我们知道：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

$$

这个结果可以直接用于后续更复杂的极限计算中。

例题二：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

对于此类形式的极限，可以利用三角恒等式 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ 进行化简：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}

$$

进一步变形为：

$$

= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2}

$$

利用 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，最终得到：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

$$

例题三：$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^3}$

此题需要使用泰勒展开或洛必达法则。首先对分子进行泰勒展开：

$$

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)

$$

因此：

$$

x - \tan x = -\frac{x^3}{3} + O(x^5)

$$

代入原式后可得：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^3} = -\frac{1}{3}

$$

以上三个例子展示了不同类型的三角函数极限问题及其解法。掌握这些基本技巧对于处理更为复杂的问题至关重要。希望读者能够通过反复练习加深理解，并灵活运用所学知识解决问题。