【2006盏亮着的电灯】在日常生活中，我们常常会遇到一些看似简单却蕴含数学逻辑的问题。其中，“2006盏亮着的电灯”是一个经典的数学题，它通过一系列的操作规则，考察人们对规律和逻辑推理的理解能力。该问题不仅有趣，还能帮助我们锻炼思维。
问题描述：
假设有2006盏灯，初始状态全部是关着的。然后进行如下操作：第一个人将所有灯都打开；第二个人将所有偶数号的灯关闭；第三个人将所有3的倍数号的灯状态改变（开变关，关变开）；第四个人将4的倍数号的灯状态改变……依此类推，直到第2006个人完成操作后，问最后有多少盏灯是亮着的。
解题思路：
每盏灯的状态被改变的次数等于它的编号的因数个数。例如，灯号为6的灯，会被1、2、3、6这四个人操作，因此其状态会被改变4次。如果一个灯被改变了奇数次，那么它最终的状态就是“亮”；如果是偶数次，则是“关”。
因此，问题转化为：找出从1到2006中，哪些数的因数个数是奇数。
而我们知道，只有完全平方数的因数个数是奇数，因为它们有一个因数是重复的（如9=3×3）。所以，最终亮着的灯的数量等于1到2006之间完全平方数的个数。
结论：
1到2006之间的完全平方数有：1², 2², 3², ..., n²，其中n² ≤ 2006。计算得：
$$
\sqrt{2006} \approx 44.8
$$
所以，最大的整数n是44，即44² = 1936，45² = 2025 > 2006。
因此，共有44盏灯是亮着的。
总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 灯总数 | 2006盏 |
| 初始状态 | 全部关闭 |
| 操作方式 | 第k个人改变k的倍数号灯的状态 |
| 最终亮着的灯数量 | 44盏 |
| 原因 | 只有完全平方数的因数个数为奇数，因此这些灯会被改变奇数次，最终保持亮着 |
| 完全平方数范围 | 1² 到 44²（1936） |
这个问题虽然看似复杂，但通过数学分析可以轻松解决。它不仅展示了数字的奇妙之处，也体现了逻辑推理在日常生活中的应用价值。
