【等差等比公式】在数学中，等差数列和等比数列是两个非常基础且重要的数列类型。它们在实际问题中有着广泛的应用，如金融计算、物理运动分析、数据统计等领域。掌握它们的公式，有助于快速解决相关问题。

本文将对等差数列和等比数列的基本公式进行总结，并以表格形式直观展示其区别与联系。

一、等差数列

等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。

基本公式：

1. 通项公式：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。

2. 求和公式（前 $ n $ 项和）：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

3. 中间项公式（若 $ n $ 为奇数）：

$$

S_n = n \cdot a_{\text{middle}}

$$

二、等比数列

等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ r $。

基本公式：

1. 通项公式：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。

2. 求和公式（前 $ n $ 项和）：

- 当 $ r \neq 1 $ 时：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

- 当 $ r = 1 $ 时，所有项相等，因此：

$$

S_n = n \cdot a_1

$$

3. 无穷等比数列求和（当 $ r < 1 $ 时）：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、等差数列与等比数列对比表

四、总结

等差数列和等比数列虽然在结构上有所不同，但都是数列研究中的核心内容。理解它们的通项公式和求和公式，不仅有助于数学学习，还能在实际问题中灵活运用。

无论是计算工资增长、投资回报率，还是分析人口增长趋势，掌握这些公式都是非常有帮助的。希望本文能为你提供清晰的思路和实用的知识点。