【两圆相交时公共弦怎么求】在几何中，两圆相交时会产生一条公共弦，这条弦是两个圆的交点之间的线段。掌握如何求解公共弦的长度和方程，对于解决几何问题具有重要意义。以下是对两圆相交时公共弦求法的总结。
一、公共弦的基本概念
当两个圆相交时，它们会有两个交点，这两个点所连成的线段称为公共弦。公共弦所在的直线也称为公共弦所在直线，它是两个圆的对称轴之一。
二、求公共弦的方法总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定两圆的方程 | 设两圆的方程分别为：$ (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2 $ 和 $ (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2 $ |
| 2. 消去平方项，得到公共弦所在直线方程 | 将两个圆的方程相减，消去二次项，得到一个一次方程，即为公共弦所在直线的方程 |
| 3. 解联立方程，求出交点坐标 | 联立圆的方程与公共弦所在直线方程，求得两个交点的坐标 |
| 4. 计算公共弦的长度 | 使用两点间距离公式：$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ |
三、示例说明
设两圆方程分别为：
- 圆1：$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 $
- 圆2：$ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5 $
步骤1：消去平方项
将两个方程相减：
$$
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - [(x - 3)^2 + (y - 4)^2] = 0
$$
展开并化简：
$$
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - [x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16] = 0
$$
$$
(-2x + 1 - 4y + 4) - (-6x + 9 - 8y + 16) = 0
$$
$$
4x + 4y - 20 = 0 \Rightarrow x + y = 5
$$
所以，公共弦所在直线方程为：$ x + y = 5 $
步骤2：联立方程求交点
将 $ y = 5 - x $ 代入圆1的方程：
$$
(x - 1)^2 + (5 - x - 2)^2 = 5
\Rightarrow (x - 1)^2 + (3 - x)^2 = 5
$$
$$
(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 6x + 9) = 5
\Rightarrow 2x^2 - 8x + 10 = 5
\Rightarrow 2x^2 - 8x + 5 = 0
$$
解得：
$$
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
$$
对应的 $ y = 5 - x $，则交点为：
$$
(2 + \frac{\sqrt{6}}{2}, 3 - \frac{\sqrt{6}}{2}) \quad \text{和} \quad (2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 3 + \frac{\sqrt{6}}{2})
$$
步骤3：计算公共弦长度
使用两点间距离公式：
$$
d = \sqrt{[ (2 + \frac{\sqrt{6}}{2} - (2 - \frac{\sqrt{6}}{2}))^2 + (3 - \frac{\sqrt{6}}{2} - (3 + \frac{\sqrt{6}}{2}))^2 ]}
= \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{6})^2} = \sqrt{6 + 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 公共弦定义 | 两圆交点之间的线段 |
| 求法步骤 | 1. 写出两圆方程；2. 相减得直线方程；3. 联立求交点；4. 计算距离 |
| 公式 | 两点距离公式：$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ |
| 注意事项 | 公共弦所在直线垂直于两圆心连线；若两圆不相交，则无公共弦 |
通过以上方法，可以系统地求解两圆相交时的公共弦，适用于考试、竞赛或实际应用中的几何问题。
