【等差数列和等比数列的通项公式】在数列的学习中，等差数列和等比数列是两个非常基础且重要的概念。它们不仅在数学中广泛应用，也在实际生活中有着广泛的体现。以下是对等差数列和等比数列通项公式的总结与对比。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
- 定义：若数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_{n+1} - a_n = d $（$ n \in \mathbb{N}^ $），则称该数列为等差数列。
- 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数。
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ q $。
- 定义：若数列 $ \{b_n\} $ 满足 $ \frac{b_{n+1}}{b_n} = q $（$ n \in \mathbb{N}^ $，且 $ q \neq 0 $），则称该数列为等比数列。
- 通项公式：
$$
b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}
$$
其中，$ b_1 $ 是首项，$ q $ 是公比，$ n $ 是项数。
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 后项减前项为定值（公差 $ d $） | 后项除前项为定值（公比 $ q $） |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ b_n = b_1 \cdot q^{n - 1} $ |
| 公差/公比 | $ d $ | $ q $ |
| 首项 | $ a_1 $ 或 $ b_1 $ | $ a_1 $ 或 $ b_1 $ |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $ 时，数列为常数列 | 当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列 |
| 增长趋势 | 线性增长 | 指数增长 |
四、应用举例
- 等差数列：如工资逐年增加500元，就是等差数列。
- 等比数列：如银行存款按年利率复利计算，属于等比数列。
通过掌握等差数列和等比数列的通项公式，可以更方便地分析数列的变化规律，并用于解决实际问题。理解这两个数列的特点和区别，有助于提升数学思维能力。
