【等差数列前n项和】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为定值。这个定值称为公差，记作 $ d $。等差数列的前 $ n $ 项和是数学中一个重要的概念，广泛应用于各种实际问题中。
为了更清晰地理解等差数列前 $ n $ 项和的计算方法，以下是对该公式及其应用的总结，并通过表格形式进行展示。
一、等差数列前n项和公式
设一个等差数列为：
$$ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $$
其中，首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
等差数列前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
这两个公式本质上是相同的，只是表达方式不同。
二、公式推导思路（简要说明）
等差数列前 $ n $ 项和的推导源于高斯的著名故事：
他发现将数列从前往后和从后往前相加，每一对的和都相同，从而快速求出总和。
例如：
数列：1, 2, 3, ..., 100
每对和为 101，共有 50 对，所以总和为 $ 50 \times 101 = 5050 $
这一思想推广到一般等差数列，即得到上述公式。
三、典型例题与应用
| 题目 | 已知条件 | 解答过程 | 结果 |
| 1 | 首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，项数 $ n = 5 $ | $ S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 2 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2}(4 + 12) = \frac{5}{2} \times 16 = 40 $ | $ S_5 = 40 $ |
| 2 | 首项 $ a_1 = 5 $，末项 $ a_{10} = 29 $，项数 $ n = 10 $ | $ S_{10} = \frac{10}{2}(5 + 29) = 5 \times 34 = 170 $ | $ S_{10} = 170 $ |
| 3 | 首项 $ a_1 = 1 $，公差 $ d = 2 $，项数 $ n = 8 $ | $ S_8 = \frac{8}{2}[2 \times 1 + (8 - 1) \times 2] = 4 \times (2 + 14) = 4 \times 16 = 64 $ | $ S_8 = 64 $ |
四、总结
等差数列前 $ n $ 项和的计算是数学中的基础内容之一，掌握其公式及应用场景有助于解决实际问题。通过不同的已知条件（如首项、公差、末项等），可以灵活使用相应的公式进行计算。表格形式的展示能够帮助读者更直观地理解和记忆相关知识。
关键词：等差数列、前n项和、公差、首项、公式、数列求和
