在物理学中，角动量是一个描述物体旋转运动的重要物理量。角动量守恒定律是自然界中的基本规律之一，它表明在一个孤立系统内，如果没有外力矩作用，系统的总角动量保持不变。
为了推导角动量守恒定律的公式，我们首先需要了解角动量的基本定义。对于一个质点来说，其角动量 \( \mathbf{L} \) 定义为：
\[
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}
\]
其中，\( \mathbf{r} \) 是质点相对于参考点的位置矢量，\( \mathbf{p} \) 是质点的动量（即 \( \mathbf{p} = m\mathbf{v} \)，\( m \) 为质量，\( \mathbf{v} \) 为速度）。符号 \( \times \) 表示矢量叉积。
接下来，我们对角动量关于时间求导，得到角动量的变化率：
\[
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})
\]
根据矢量微积分中的乘积法则，可以写成：
\[
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt}
\]
注意到 \( \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{v} \)，而 \( \mathbf{p} = m\mathbf{v} \)，因此第一项 \( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} = \mathbf{v} \times (m\mathbf{v}) \)。由于矢量叉积的性质，任何矢量与自身叉积都为零，所以这一项为零。
第二项中，根据牛顿第二定律 \( \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F} \)，我们有：
\[
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}
\]
这里的 \( \mathbf{F} \) 是作用于质点上的净外力。进一步分析可知，\( \mathbf{r} \times \mathbf{F} \) 正好等于作用力对参考点产生的力矩 \( \mathbf{\tau} \)，即：
\[
\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}
\]
因此，角动量的变化率可以表示为：
\[
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{\tau}
\]
如果系统不受外力矩作用，即 \( \mathbf{\tau} = 0 \)，那么 \( \frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0 \)，这意味着角动量 \( \mathbf{L} \) 在这种情况下保持不变。这就是角动量守恒定律的核心内容。
总结起来，当系统不受外力矩作用时，系统的总角动量 \( \mathbf{L} \) 保持恒定，这一定律不仅适用于单个质点，也适用于整个多体系统。通过上述推导过程，我们可以清楚地看到角动量守恒定律是如何从基本的动力学原理中得出的。
