| a, b, c] = a \cdot (b \times c) $$ 其中： - $ b \times c $ 是向量 b 和 c 的叉积，结果是一个向量； - $ a \cdot (b \times c) $ 是向量 a 与该向量的点积，结果是一个标量。 混合积的几何意义是：以这三个向量为邻边的平行六面体的体积（绝对值）。 二、混合积的计算步骤 1. 计算叉积：先计算两个向量的叉积，例如 $ b \times c $。 2. 计算点积：再将第一个向量 a 与上一步的结果进行点积。 3. 得到结果：最终得到一个标量值，即为混合积。 三、混合积的性质 | 性质 | 描述 | | 交换律 | 混合积不满足交换律，但有循环交换性质：
$$ [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] $$ | | 反交换性 | 如果交换任意两个向量的位置，则符号改变：
$$ [a, b, c] = -[a, c, b] $$ | | 零向量 | 若三个向量共面，则混合积为0。 |
四、混合积的计算公式（坐标形式） 设向量： - $ a = (a_1, a_2, a_3) $ - $ b = (b_1, b_2, b_3) $ - $ c = (c_1, c_2, c_3) $ 则混合积可以表示为行列式形式： $$ | a, b, c] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} $$ 也可以展开为： $$ a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - a_2(b_1c_3 - b_3c_1) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1) $$ 五、示例计算 设向量： - $ a = (1, 2, 3) $ - $ b = (4, 5, 6) $ - $ c = (7, 8, 9) $ 计算混合积： $$ | a, b, c] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) $$ $$ = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0 $$ 因此，该混合积为 0，说明三个向量共面。 六、总结表格 | 内容 | 说明 | | 混合积定义 | $ a \cdot (b \times c) $ | | 几何意义 | 平行六面体的体积（绝对值） | | 计算方式 | 叉积后点积，或行列式展开 | | 坐标形式 | 行列式：$ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $ | | 性质 | 循环交换不变，交换两向量变号 | | 应用 | 判断向量是否共面，计算体积 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解如何计算向量的混合积，并掌握其在实际问题中的应用。
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