【向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。垂直的向量之间具有特殊的数量关系，这种关系可以通过向量的点积（内积）来判断。本文将对“向量垂直公式”进行简要总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。
一、向量垂直的基本概念
两个向量 a 和 b 如果满足 夹角为90度，则称它们为垂直向量，记作 a ⊥ b。
在二维或三维空间中，向量之间的垂直关系可以通过其点积来判断。若两个向量的点积为零，则这两个向量互相垂直。
二、向量垂直的判定公式
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则：
- 点积公式：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
- 垂直条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
即当两个向量的点积等于零时，它们相互垂直。
三、常见应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 几何图形分析 | 如判断矩形、正方形等图形的边是否垂直 |
| 物理力学 | 如力的分解与合成中判断方向是否垂直 |
| 计算机图形学 | 判断物体表面法线与光线方向是否垂直 |
| 机器学习 | 在特征空间中判断特征向量是否正交 |
四、示例解析
例1：
向量 a = (2, 3)，向量 b = (-3, 2)
点积：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0
$$
因此，a ⊥ b
例2：
向量 c = (1, -2, 4)，向量 d = (2, 1, 0)
点积：
$$
\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 4 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0
$$
因此，c ⊥ d
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 向量垂直定义 | 两向量夹角为90度 |
| 垂直判定方法 | 点积为0 |
| 点积公式 | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ |
| 应用领域 | 几何、物理、计算机图形学等 |
| 判定条件 | $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $ 时，两向量垂直 |
通过以上内容可以看出，“向量垂直公式”是向量运算中的基础工具，广泛应用于多个学科领域。掌握这一公式有助于提高对向量关系的理解和实际应用能力。
