在数学中，函数的定义域和值域是理解其性质的重要基础。以反三角函数为例，arcsinx（即反正弦函数）是一个非常典型且实用的例子。那么，arcsinx的定义域和值域分别是什么？它们又是如何确定的呢？

定义域：[-1, 1]

首先，我们来看arcsinx的定义域。根据定义，arcsinx表示的是正弦函数y=sinx的反函数。然而，由于正弦函数本身并不是单调函数，因此为了使反正弦函数成为单值函数，我们需要限制正弦函数的取值范围。通常情况下，正弦函数的定义域被限定为[-π/2, π/2]，在这个区间内，正弦函数严格单调递增，并且可以覆盖整个[-1, 1]的值域。

因此，当我们将正弦函数的值域限制为[-1, 1]时，就可以定义它的反函数arcsinx了。换句话说，arcsinx的定义域就是正弦函数的值域，也就是[-1, 1]。

值域：[-π/2, π/2]

接下来，我们分析arcsinx的值域。既然arcsinx是正弦函数的反函数，那么它的值域就对应于正弦函数的定义域。正如前面提到的，正弦函数的定义域被限定为[-π/2, π/2]，因此arcsinx的值域自然也是[-π/2, π/2]。

为什么这样定义？

这样的定义方式有以下几个原因：

1. 保证单值性：正弦函数在整个实数范围内是周期性的，并不满足单值函数的要求。通过限制定义域为[-π/2, π/2]，我们可以确保arcsinx是一个单值函数。

2. 覆盖完整值域：在[-π/2, π/2]这个区间内，正弦函数能够取到[-1, 1]的所有值，从而使得arcsinx能够覆盖完整的值域范围。

3. 便于实际应用：这种定义方式在工程学、物理学等领域中具有广泛的应用价值，因为它简化了许多计算问题。

总结

综上所述，arcsinx的定义域是[-1, 1]，而值域是[-π/2, π/2]。这种定义方式既保证了函数的单值性，又涵盖了所有可能的情况，从而使得arcsinx成为一个非常重要的数学工具。理解和掌握这些基本概念，对于进一步学习更复杂的数学知识至关重要。