【数学期望公式】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述一个随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。它反映了随机变量的“中心位置”，常用于预测、决策分析和风险评估等领域。
数学期望的计算方法因随机变量的类型不同而有所区别，主要分为离散型和连续型两种情况。
一、数学期望的基本定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、数学期望公式的分类与应用
以下是对不同类型随机变量的数学期望公式进行总结，并附上示例说明。
| 随机变量类型 | 数学期望公式 | 示例说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i $ | 掷一枚骰子，每个点数的概率为 $ \frac{1}{6} $，期望为 $ 3.5 $ |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $ | 均匀分布在区间 [0, 1] 上的随机变量，期望为 $ 0.5 $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ E(X) = np $ | 投掷硬币 10 次，正面概率为 0.5，期望正面次数为 5 |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ E(X) = \lambda $ | 某网站每小时访问量服从泊松分布，λ=3，则期望为 3 次/小时 |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ E(X) = \mu $ | 身高服从正态分布，均值 μ=170cm，期望为 170cm |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + b) = aE(X) + b $。
2. 期望的可加性：若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则 $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $。
3. 独立性：若 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，则 $ E(XY) = E(X) \cdot E(Y) $。
四、实际应用举例
- 保险精算：保险公司通过计算保单的期望赔付金额来确定保费。
- 投资组合：投资者利用期望收益评估不同资产的潜在回报。
- 游戏设计：在赌博或游戏中，期望值可以用来判断游戏是否公平。
五、结语
数学期望是理解和分析随机现象的重要工具，它帮助我们从不确定性中寻找规律。无论是理论研究还是实际应用，掌握数学期望的计算方法和相关性质都具有重要意义。
