【分层抽样的选取公式】在统计学中，分层抽样是一种将总体划分为若干个互不重叠的子群（即“层”）后，从每一层中独立抽取样本的方法。这种方法可以提高样本的代表性，减少抽样误差，尤其适用于总体内部存在明显差异的情况。
在实际应用中，分层抽样的样本选择通常需要遵循一定的公式来确定每层应抽取的样本数量。以下是几种常见的分层抽样选取公式及其适用场景。
一、按比例分配法
这是最常用的一种方法，根据各层在总体中的比例，按比例分配样本数量。
公式：
$$
n_h = n \times \frac{N_h}{N}
$$
其中：
- $ n_h $：第 $ h $ 层的样本数
- $ n $：总样本量
- $ N_h $：第 $ h $ 层的个体数
- $ N $：总体个体总数
适用场景：当各层之间差异较小，且希望保持样本与总体结构一致时使用。
二、最优分配法（奈曼分配）
该方法考虑了各层的变异程度，通过优化样本分配以最小化总体方差。
公式：
$$
n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum_{h=1}^{L} N_h S_h}
$$
其中：
- $ S_h $：第 $ h $ 层的标准差
- $ L $：层数
适用场景：当各层的变异程度差异较大时，可有效提高估计精度。
三、等量分配法
无论各层大小如何，每层抽取相同数量的样本。
公式：
$$
n_h = \frac{n}{L}
$$
其中：
- $ L $：层数
适用场景：当各层大小相近，或研究者希望对每一层进行均衡比较时使用。
四、自加权设计（Weighted Sampling）
在某些情况下，为了使样本具有自加权性质（即每个样本在分析时不需要额外加权），可采用以下方式：
公式：
$$
n_h = n \times \frac{N_h}{N}
$$
与比例分配法相同，但强调结果的权重一致性。
表格总结：分层抽样选取公式的对比
| 分配方法 | 公式 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
| 比例分配法 | $ n_h = n \times \frac{N_h}{N} $ | 各层差异小，需保持结构一致 | 简单易行，保持样本代表性 | 未考虑层内变异，可能效率较低 |
| 最优分配法 | $ n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h} $ | 层间变异大，追求精度 | 提高估计精度 | 计算较复杂，需知道标准差 |
| 等量分配法 | $ n_h = \frac{n}{L} $ | 各层规模相近，需均衡比较 | 简单，便于比较各层 | 可能浪费资源，效率不高 |
| 自加权设计 | $ n_h = n \times \frac{N_h}{N} $ | 需要加权分析时 | 结果无需加权，计算方便 | 同比例分配法，未考虑变异 |
总结
分层抽样的选取公式是确保样本代表性和提高调查精度的重要工具。根据研究目的、数据特征和资源情况，可以选择不同的分配方式。在实际操作中，建议结合多种方法，并根据实际情况进行调整，以达到最佳效果。
