【空间向量与立体几何知识点】空间向量与立体几何是高中数学的重要组成部分，也是高考中常见的考点之一。它不仅涉及到向量的基本概念和运算，还与三维几何图形的性质、位置关系以及计算密切相关。掌握好这部分知识，有助于提升空间想象能力和逻辑推理能力。

一、基本概念总结

1. 空间向量：在三维空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。通常用有向线段表示，如向量 $\vec{a}$ 或 $\vec{AB}$。

2. 向量的模：向量的长度称为模，记作 $\vec{a}$，计算公式为：

若 $\vec{a} = (x, y, z)$，则 $\vec{a} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，记作 $\hat{a}$，可由 $\vec{a}$ 除以它的模得到。

4. 向量的加减法：向量的加减遵循平行四边形法则或三角形法则。

5. 数乘向量：向量与实数相乘，结果仍然是一个向量，方向与原向量相同或相反，长度为原长度的倍数。

6. 向量的点积（数量积）：

设 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，则

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$，

且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}\cos\theta$，其中 $\theta$ 是两向量夹角。

7. 向量的叉积（向量积）：

$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1)$，

结果是一个垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的向量。

8. 空间几何体：包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等，涉及体积、表面积、对称性等问题。

二、常用公式总结

三、常见题型与解题思路

1. 向量运算题：熟练掌握向量的加减、数乘、点积、叉积的运算规则，注意符号和方向。

2. 空间几何体问题：如求体积、表面积、角度、距离等，常需结合向量与坐标系进行分析。

3. 直线与平面的位置关系：判断直线是否在平面上、与平面相交、平行或垂直，可通过向量的方向与法向量的关系来判断。

4. 空间几何证明题：利用向量法或几何法进行证明，如证明线面垂直、面面垂直等。

四、典型例题解析

例题1：已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, -1, 1)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$。

解：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1×2 + 2×(-1) + 3×1 = 2 - 2 + 3 = 3$

$\vec{a} \times \vec{b} = (2×1 - 3×(-1), 3×2 - 1×1, 1×(-1) - 2×2) = (2 + 3, 6 - 1, -1 - 4) = (5, 5, -5)$

五、学习建议

- 多做练习题，尤其是向量与几何结合的题目。

- 善于画图，增强空间想象能力。

- 熟练掌握向量运算的公式和几何意义。

- 注意理解不同几何体的性质和相关公式。

通过系统地学习和练习，空间向量与立体几何的知识点将不再是难点，而是提升数学成绩的重要工具。