在数学领域中，二项式定理是一个非常重要的工具，它帮助我们展开形如 $(a+b)^n$ 的表达式。当 $n=3$ 时，我们得到了一个特殊的三次二项式，其通项公式可以用来快速计算每一项的具体形式。

首先，让我们回顾一下二项式定理的基本内容。对于任意正整数 $n$，$(a+b)^n$ 可以表示为：

$$

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

$$

其中 $\binom{n}{k}$ 是组合数，定义为：

$$

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

$$

当 $n=3$ 时，上述公式变为：

$$

(a+b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3

$$

接下来，我们将每个组合数代入公式进行计算：

- $\binom{3}{0} = 1$

- $\binom{3}{1} = 3$

- $\binom{3}{2} = 3$

- $\binom{3}{3} = 1$

因此，$(a+b)^3$ 展开后为：

$$

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

$$

这个结果表明，三次二项式的每一项都可以通过通项公式 $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ 来确定。具体来说，对于 $n=3$，通项公式为：

$$

T_k = \binom{3}{k} a^{3-k} b^k

$$

通过这一公式，我们可以轻松地计算出任何指定项的值。例如，当 $k=1$ 时：

$$

T_1 = \binom{3}{1} a^{3-1} b^1 = 3a^2b

$$

同样地，当 $k=2$ 时：

$$

T_2 = \binom{3}{2} a^{3-2} b^2 = 3ab^2

$$

总结起来，三次二项式的通项公式为我们提供了一种系统化的方法来处理复杂的多项式展开问题。掌握这一公式不仅有助于解决基础数学问题，还能在更高级的应用中发挥作用。

希望这篇文章能够满足您的需求！如果有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告知。