【几何平均数的计算公式】在统计学中，几何平均数是一种用于计算一组数值平均值的方法，尤其适用于数据呈现指数增长或比例变化的情况。与算术平均数不同，几何平均数更能反映数据之间的乘积关系，常用于计算投资回报率、增长率、平均比率等场景。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）的结果。其公式如下：
$$
\text{几何平均数} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
其中：
- $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 是一组正数；
- $ n $ 是数据的个数。
二、几何平均数的特点
| 特点 | 描述 |
| 适用于比例数据 | 对于增长率、利率等比例变化的数据更合适 |
| 受极端值影响较小 | 相比算术平均数，对极大或极小值的敏感度较低 |
| 需要所有数据为正数 | 若有0或负数，则无法计算几何平均数 |
| 更能反映实际增长情况 | 在计算年均增长率时更具代表性 |
三、几何平均数的计算步骤
1. 将所有数据相乘；
2. 计算乘积的n次方根（n为数据个数）；
3. 得到最终的几何平均数。
四、示例说明
假设某公司连续三年的年增长率分别为：10%、20%、30%，求这三年的平均增长率。
步骤1：将增长率转换为倍数
10% → 1.10
20% → 1.20
30% → 1.30
步骤2：计算乘积
$ 1.10 \times 1.20 \times 1.30 = 1.716 $
步骤3：开三次方
$$
\sqrt[3]{1.716} \approx 1.20
$$
结果：
几何平均增长率为 20%，即每年平均增长20%。
五、几何平均数与算术平均数的比较
| 指标 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 公式 | $\sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}$ | $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ |
| 适用场景 | 增长率、比例数据 | 均匀分布数据 |
| 敏感性 | 对极端值不敏感 | 对极端值较敏感 |
| 数据要求 | 所有数据必须为正 | 可以包含负数或零 |
六、总结
几何平均数是一种重要的统计工具，特别适用于处理具有乘法性质的数据。它能够更准确地反映数据的平均增长趋势，避免了算术平均数在处理增长率等问题时可能出现的偏差。理解并正确使用几何平均数，有助于我们在金融、经济、科学等多个领域做出更合理的分析和判断。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 一组正数的乘积开n次方 |
| 公式 | $\sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}$ |
| 优点 | 对比例数据更敏感，受极端值影响小 |
| 应用 | 投资回报率、增长率、人口增长等 |
| 注意事项 | 数据必须为正数，不能有0或负数 |
