【等比数列公式】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。在实际问题中，等比数列广泛应用于金融、物理、计算机科学等领域。为了更清晰地掌握等比数列的相关公式，以下是对等比数列基本公式的总结。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比值都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 公比（r）：相邻两项的比值，记作 $ r $。
- 首项（a）：数列的第一个数，记作 $ a $。
二、等比数列的常用公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a \cdot r^{n-1} $ | 用于求第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 求前n项的和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项的和 |
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则b为等比中项 |
三、公式使用示例
假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求：
1. 第5项：
$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
2. 前4项和：
$ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80 $
3. 无穷等比数列和（若公比满足条件）：
若 $ r = \frac{1}{2} $，则 $ S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4 $
四、注意事项
- 当公比 $ r = 1 $ 时，等比数列为常数列，此时前n项和为 $ S_n = a \cdot n $。
- 当公比 $ r > 1 $ 或 $ r < -1 $ 时，等比数列会迅速增长或波动，不适合用无穷和公式。
- 在实际应用中，应根据题目条件选择合适的公式。
通过以上总结，可以系统性地掌握等比数列的相关公式及其应用方法，有助于解决实际问题并提升数学思维能力。
